样本量计算公式和案例

御剑迎风

最近较忙，没时间把专题进行下去，我就先转一下大家急需的帖子吧
转自《丁香园》

2.2 样本量计算

貌似严谨一点的设计都需要在试验设计时估算样本量。
没有足够的样本量，试验可能难以得出设计的效果；得出的资料也许错误风险较大……
太大的样本量，又会增加试验的成本和难度。
因此有了样本量设计一说。这里给亲们搜集了一些常用的样本量计算。这些计算主要参考颜虹主编《医学统计学》及孙瑞元、郑青山、姚晨及刘玉秀等人的相关著述。
先提示一下：样本量计算应先给定必要的参数。没有任何给定参数的样本量，谁也算不出来呵。
这些必要的参数，一般可通过预试验或参考文献或以前的经验资料得到。
样本量的计算，在Excel中非常容易。以下的介绍中，将顺便给出需要使用的Excel函数。这些函数的意义，Excel中都有解释。希望亲们捕获鱼时更获得渔之方法（授人鱼不如授人以渔）。
当然，本小书的作者也搜集或建立了下面所述的各样本量计算公式模板，上传于丁香园医学网站，亲们可去下载：http:／／www.dxy.cn／bbs／topic／21117904
常用的样本量计算方法有：
A  两独立组比较（率／计数资料）
B  多独立组比较（率／计数资料）
C  两独立组比较（均数／计量资料）
D  多独立组比较（均数／计量资料）
E  两配对组比较（率／计数资料）
F  两配对组比较／单组前后比较（均值／计量资料）
G  等效性／非劣性试验：两组率／计数资料的比较
H  等效性／非劣性试验：两组计量资料的比较
I  诊断试验
J  横断面研究的样本例数（0-1变量总体概率估计）
K  横断面研究的样本例数（均值／计量资料）
好，下面逐一为亲们介绍（仍然是不讲理论和出处，只讲应用啊）。

御剑迎风

A  两独立组比较（率／计数资料）

【例】 某课题的研究目的是比较两种药物治疗乙型肝炎后表面抗原HBsAg的改善情况（双侧检验），问两组各需要乙肝患者多少名？拟规定：乙肝患者随机分为2组，两组样本量比：甲药组／乙药组=0.55／0.45；预试验测得甲药的转阴率为60％，乙药的转阴率为75％。
公式：
N={Z_α／2［（2P均）（1-P?均）（Q₁^-1+Q₂^-1 ）］0.5 + Z_β［P₁Q₁^-1（1-P₁）+ P₂Q₂^-1（1-P2）］^0.5}²／（P₁-P₂）²

（注：以上为双侧检验公式。单侧检验时，将Zα／2换成分Zα即可。亲若是统计初学者，不太清楚统计检验是双侧检验还是单侧检验，那就一般选择双侧检验。以后的公式若无特别提示，都仅列示双侧检验的计算结果）
参数：
⑴ Z_α／2：α=0.05，Z_α／2=1.960  Excel计算：=NORMSINV（1-0.05／2）
⑵ Z_β：β=0.10，Z_β=1.282    Excel计算：=NORMSINV（1-0.10）
⑶ Q₁、Q₂：各组样本比例。本例设计Q₁=0.55，Q₂=0.45
⑷ P₁、P₂：各组的预试验所得率，本例为转阴率：P₁=0.60、P₂=0.75
⑸ P均：两组合并率，或两组平均率。P均= P₁Q₁+P₂Q₂=（0.55×0.6+0.45×0.75）＝0.6675。
⑹ N：两组例样本总例数。（N=n1+n2）
代入可得样本总例数 N≈411。
（注：平方根计算（Excel计算，以求30的平方根：300.5 为例）：=SQRT（30）或 =30^0.5
结果：
比较两种药物治疗乙型肝炎后表面抗原HBsAg的转阴情况，置信水平为0.95,检验功效为0.9，两组共需要411名乙肝患者。其中甲药组需要：n1=Q₁N=0.55×411=226；乙药组需要：n2=Q₂N=0.45×411=185。
后面的各类样本量计算，不再写结果这段了（节省版面嘿嘿）

御剑迎风

B  多独立组比较（率／计数资料）

【例】 比较三种矫治近视眼方法的效果有无差异，问各法需观察多少例？预试验如下：采用三种方法矫治近视眼，治疗后得到A法有效率为37.78％，B法为18.75％，C法为27.78％。
公式： 多组本率比较的样本例数公式
n = 2λ／［2sin^-1（P_max^0.5 ）- 2sin^-1（P_min^0.5 ）］         
注：该公式中出现反正弦函数，以对样本率进行以弧度为单位的反正弦被换，从而解决该类资料的率向两侧偏离的偏态现象。
参数：
⑴ α：α=0.05
⑵ β：β=0.10
⑶ K：设计的组数，本例中，K=3
⑷ λ：查下表得，λ_{α，β，K-1} =λ_{0.05，0.10，3-1}=12.65
⑸ SIN^-1：反正弦函数，若用Excel函数计算0.5的反正弦值：=ASIN（0.5）
⑹ P_max、P_min：分别为最大率和最小率，根据预试验或查文献来估计。本例P_max=0.3778，P_min=0.1875。代入计算得样本例数n≈138。

α=0.05时的λ值表

组数K	3	4	5	6	7	8	9	10
自由度v=K-1	2	3	4	5	6	7	8	9
β=0.2	9.63	10.90	11.94	12.83	13.62	14.35	15.02	15.65
β=0.1	12.65	14.17	15.41	16.47	17.42	18.28	19.08	19.83

御剑迎风

C  两独立组比较（均数／计量资料）

【例】 某课题的研究目的是欲比较黄芪与生血散对粒细胞减少症的疗效，两组样本比例：Q1／Q2=0.5／0.5。问每组需要观察多少例？预试验如下：一个研究组将随机抽取的粒细胞减少症的病例平均分为两组，分别用黄芪和生血散治疗后测得，黄芪组平均增加粒细胞1×10⁹ 个／L，生血散组平均增加粒细胞2×10⁹ 个／L，合并标准差为σ=1.8×10⁹ 个／L。
公式：两组均数比较样本例数公式
N=［Z_α／2 + Zβ］ σ／δ］²（Q₁^-1+ Q₂^-1）
参数：
⑴ Z_α／2：α=0.05，Z_α=1.960  ［ Excel函数计算：Z_α／2=NORMSINV（1-0.05／2） ］
⑵ Z_β：β=0.20，Z_β=0.842  ［ Excel函数计算：Z_β=NORMSINV（1-0.20） ］
⑶ σ： σ=1.8×10⁹  注：合并标准差σ= ［（S₁²+S₂²）／2］ ^0.5
  ⑷ δ：两组差值，见前述预试验，δ=（2×10⁹）-（1×10⁹）=1×10⁹
⑸ Q₁、Q₂：见前述预试验，Q₁=0.5、Q₂=0.5
代入可得样本例数N≈80。

御剑迎风

D  多独立组比较（均数／计量资料）

【例】 某课题的研究目的是比较三种方案治疗血红蛋白不满100g／L的婴幼儿贫血患者后，血红蛋白增的变化有无差异，问三组各需要观察多少例？预试验如下：一个研究组将随机抽取的血红蛋白不满100g／L的婴幼儿贫血患者平均分为三组，经各治疗方案治疗后血红蛋白增加的均数Xi分别为18.5g／L、13.2g／L、10.4g／L，标准差Si为11.8g／L、13.4g／L、9.3g／L。
公式：多个样本均数比较样本例数公式
n = Ψ²（∑（S_i²）／K）／［∑（Xi_均 - X_均）²／（K-1）］
参数：
⑴ α：α=0.05
⑵ β：β=0.10
⑶ K：为组数，本例题K=3。
⑷ Ψ：本例K=3，自由度V1=K-1=2；自由度V2=N-1，N未知，可取最大∞，查下表得：
Ψ_{α，β，K-1，∞}=2.52。
⑸ X_均i、S_i：分别为第i组的均数（X₁=18.5、X₂=…）和标准差（S₁=11.8，S₂=…）的估计值，由预试验或文献来估计。
⑹ X_均的确定：X_均=（X₁+X₂+X₃）／K=（18.5+13.2+10.4）／3=14.0
代入便可计算求出样本例数：n≈51

御剑迎风

E  两配对组比较（率／计数资料）

【例】 用A、B两种方法检查血样中的HIV，先用A法检验，再用B法检验。比较两法的差异，需要多少样本量？预试验结果如下表：A法B 法均为阳性+为a例，均为阴性-的为d例，分别为阳、阴性的为d或c例。

配对设计		A法测定
		阳性+	阴性-
B法测定	阳性+	a	b
	阴性-	c	d

公式：两配对组（率／计数资料）比较公式
n=［Z_α／2（2π_c）^0.5+ Z_β（2π+-π-+）^0.5］2／（π_+- -π_-+）²
参数：
⑴ Z_α／2：α=0.05，Z_α／2=1.960
⑵ Z_β：β=0.10，Z_β=1.282
⑶ π_+-：π_+-=b／（a+b）
⑷ π_-+：π_-+=c／（a+c）
⑸ π_c： （π_+-+π_-+）／2
代入可得样本例数。

御剑迎风

F  两配对组比较／单组前后比较（均值／计量资料）

【例】 某降压药临床试验，观测病人服药前后的血压值，以判断降压效果。求样本量。预试验知：病人用药前后的血压差值观测的标准差S=8.3mmHg，观测比较的阈值δ为2mmHg。
公式：
n = ［（Z_α／2+Z_β）S／δ］²
参数：
⑴ Z_α／2：α=0.05，Z_α／2=1.960
⑵ Z_β：β=0.10，Z_β=1.282
⑶ S：标准差。由文献或预调查的资料来估计。本例为S=8.3。
⑷ δ：判断阈值或比较界值或容许误差，一般可考虑δ=（0.1～0.5）S，本例取2。
代入计算得：n=180。
（注：δ：判断阈值，其含义大致同下面的等效性检验中的定义。亲可这样理解：如果想比较的更精细准确一些，其比较的δ：判断阈值应该小一些，对应的样本量就大一些（δ在计算样本量的分母上）

御剑迎风

G  等效性／非劣性试验：两组率／计数资料的比较

【例】 某新药进行Ⅱ期临床试验，考察其治愈率不差于经典对照药，按1／1设试验组和对照组，求样本量。预试验知：两组治愈率均约0.80。
公式：
非劣性试验：n= 2×（U_α+U_β）²×P（1-P）／δ²
等效性试验：n = 2×（U_α+U_β／2）²×P（1-P）／δ²
（注：等效性试验包括高低两个方向的单侧检验，但采用U_β／2而非U_α／2）
特别地，临床常用α=0.05，β=0.20，两组例数比K=Q1／Q2=1时，亲可用下述简化公式：
非劣性试验：n= 12.365×P（1-P）／δ²
等效性试验：n = 17.127×P（1-P）／δ²
参数：
⑴ α=0.05
⑵ β=0.20
⑶  P=0.80（P为两组合并率或两组平均率，约为两组率的均值或合并计算后的均值）
⑷ δ（检验界值）=0.15（一般由临床专业决定，可取两组平均率的1／3～1／10）
⑸  Q1、Q2=0.5（两组例数比0.5／0.5=1）
代入可得每组样本例数：n=12.365×0.8（1-0.8）／0.15² =88
如果：两组例数比K=Q₁／Q₂≠1时，则n1≈n（1+K）／2；n2≈n（1+K）／2K

御剑迎风

H  等效性／非劣性试验：两组计量资料的比较

【例】 【例】 某新药进行Ⅱ期临床试验，考察其生存期不差于经典对照药，按1／1设试验组和对照组，求样本量。预试验知：两组共同标准差s=60d。
公式：
非劣性试验：n= 2×（U_α+U_β）²×（σ／δ）²
等效性试验：n = 2×（U_α+U_β／2）²×（σ／δ）²
（注：等效性试验包括高低两个方向的单侧检验，但采用U_β／2而非U_α／2）
特别地，临床常用α=0.05，β=0.20，两组例数比K=Q₁／Q₂=1时，亲可用下述简化公式：
非劣性试验：n= 12.365×（s／δ）²
等效性试验：n = 17.127×（s／δ）²
参数：
⑴ α=0.05
⑵ β=0.20
⑶ σ = 60 （合并标准差，σ= ［（S₁²+S₂²）／2］ ^0.5。近似估算甚至可取两组标准差的几何均值（S1×S2）^0.5。
注：标准差S：通常指样本的标准差，Excel中表述为标准偏差SD，其函数计算：=STDEV（），其计算公式为SD=［∑（X_i-X_均）²）／（n-1）］^0.5。  亲们不要和总体的标准差弄混啊（总体的标准差公式里将n-1换作n），当然弄混也无大事，反正样本量计算就一参考值，有点误差木什么大不了。
⑷ δ（检验界值）=0.20（一般由临床专业决定，可取共同标准差的1／2～1／5，或取对照／参比组均值的1／5～1／10）
⑸  Q1、Q2 =0.5（两组例数比0.5／0.5=1）
代入可得每组样本例数：n=12.365×（60／20）² =111
如果：两组例数比K=Q₁／Q₂≠1时，则n1≈n（1+K）／2；n2≈n（1+K）／2K

御剑迎风

I  诊断试验

【例】 某课题的研究目的是为了解B超诊断肝硬化的临床价值，每组各需要多少例患者？预试验中：B超诊断肝硬化约为：P_灵敏度=0.75；P_特异度=0.55。
公式： 诊断试验的样本例数公式
n=（U_α／δ）²（1-P）P
参数：
⑴ μ_α：α=0.05，μ_α=Z_α／2=1.960
⑵ μ_β：β=0.20，本法计算中可不涉及μ_β。
⑶ δ：判断界值。由研究者根据预试验或查文献来估计。可综合取预试验之灵敏度或特异度的1／5～1／10。一般定在0.05～0.10之间。本例取δ=0.08
⑷  P的确定：P_灵敏度=0.75；P_特异度=0.55
（一般，计算试验组的样本量时用P_灵敏度，而计算对照组样本量时用P_特异度）
代入计算求出样本例数：
将P_灵敏度=0.75代入公式后可计算得n_试验≈113。
将P_特异度=0.55代入公式后可计算得n_对照≈149。

御剑迎风

J  横断面研究的样本例数（0-1变量总体概率估计）

【例】  为了在全国作生育率的调查，根据资料已知全国妇女现阶段峰值年龄生育率估计值，按单纯随机抽样，估计峰值年龄妇女需要多少人？预调查如下：为了在全国作生育率的抽样调查，经查阅文献获得，我国妇女现阶段峰值年龄生育率P在0.3上下波动，允许误差δ为0.015，若定检验水准为0.05，试按单纯随机抽样，估计峰值年龄妇女样本例数。
公式：
    n=  Z_α/2²×P（1-P）／δ²
参数：
⑴ Z_α/2：α=0.05，Z_0.05／2=1.96。
⑵ δ：δ=P-π。δ可通过预试验、查阅文献、专家意见来确定。特别地，在很多情况下：可取δ≈0.1P，Z_α／2≈2，则公式可简化为n = 400（1-P）／P。
  ⑶ P：总体概率。通过预试验或查阅文献获得。  
本例按公式计算得：样本例数n=1.96²×0.3（1-0.3）／0.015² = 3733
    若按简化公式：δ定为0.1P=0.03，则样本例数n=400×（1-0.3）／0.3=933

御剑迎风

K  横断面研究的样本例数（均值／计量资料）

【例】 研究某地区平均每月每位社区医生的家访次数，至少需要调查多少名医生？  预调查知：一个研究组从社区医疗机构的名单中随机抽取90名社区医生进行调查，发现他们一个月内家访平均次数为4.89次，标准差为3.48次。
公式：
n=  （Z_α/2×V／ε）²
参数：
⑴ Z_α：α=0.05，Z_0.05／2=1.96。
⑵ ε：相对误差。由研究者根据问题的背景自行规定，例如可以取0.1、0.15、0.2等。本例取0.2。
⑶ V：变异系数。V = σ／μ（总体的标准差／总体均值），或用S／X均估计，其中参数由文献或预调查的资料来估计。本例为V=3.48／4.89=0.712。
代入公式后可得n=49。

慕延

收藏了亲~久旱逢甘霖了

草莓小花朵

慕延 发表于 2017-8-4 11:18
收藏了亲~久旱逢甘霖了

这是我的心声吧

ICBC

医学僧里数学最好的，数学里懂医学的。必须持续关注

御剑迎风

ICBC 发表于 2017-8-7 08:34
医学僧里数学最好的，数学里懂医学的。必须持续关注

不敢当，我的专业背景就是流行病与统计，所以经验比较丰富

lhd

先收藏，下来慢慢消化

相约感控

御剑迎风 发表于 2017-8-4 10:25
C  两独立组比较（均数／计量资料）

【例】 某课题的研究目的是欲比较黄芪与生血散对粒细胞减少症的疗效 ...

御剑迎风老师，请问仅有两组的均数和标准差，怎么计算合并标准差呢？

相约感控

御剑迎风 发表于 2017-8-4 10:25
C  两独立组比较（均数／计量资料）

【例】 某课题的研究目的是欲比较黄芪与生血散对粒细胞减少症的疗效 ...

老师，按照参数列如下公式，[（1.96+0.842）*（1.8*109/1*109）]2(上标）*（1/0.5+1/0.5）=（2.802*1.8）2*4=25*4=100，怎么不是80呢？我的错误在哪儿？谢谢指正。

相约感控

御剑迎风 发表于 2017-8-4 10:35
H  等效性／非劣性试验：两组计量资料的比较

【例】 【例】 某新药进行Ⅱ期临床试验，考察其生存期不差 ...

御剑迎风老师，你好。第H条，计量资料的等效性和非劣效结果，根据题中该数据和计算公式，非劣性试验：n= 2×（Uα+Uβ）2×（σ／δ）2=2(1.96+1.282)2×（8.3／2）2=2*10.51*4.152=360
最后只能得出结论，每组是180.是应该这样描述吗？请指导